1

Леонід ЛІПЧЕВСЬКИЙ

Функції та їх графіки (10-11 класи)


ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Математика має широкі можливості для інтелектуального розвитку особистості, розвитку логічного мислення, просторо­вих уявлень і уяви. Ця наука є засобом вивчен­ня фізики, хімії, біології, астрономії, гуманітар­них дисциплін, інформатики та обчислюваль­ної техніки. Математичне моделювання широ­ко використовується для розв'язування задач економіки, виробництва.

Одним із важливих розділів математики є те­орія функцій. У програмі з математики на ви­вчення поняття функцій та їх властивостей відво­диться незначна кількість навчального часу, а тому вирішити проблему ґрунтовного засвоєн­ня учнями теми допоможе викладання запро­понованого курсу в 10—11 класах.

У даному курсі пропонується розглянути важ­ливі властивості елементарних функцій, що ефективно застосовуються для розв'язування рівнянь і нерівностей, а також для побудови графіків функцій. Значну увагу варто приділити аналізу розв'язувань задач на знаходження об­ластей визначення і множини значень функцій, на обчислення їх екстремумів, найбільших і най­менших значень, точок перегинів, асимптот, на побудову графіків.

Крім цього, слід розглянути оригінальні ме­тоди розв'язування рівнянь і нерівностей, що ґрунтуються на застосуванні властивостей функцій та їх графіків.

Вивчення курсу розраховано на 68 год про­тягом двох років. Тижневе навантаження становить 1 год.

Розподіл годин між темами умовний і може змінюватися вчителем залежно від потреб і мож­ливостей конкретної групи учнів.

Програма курсу може бути використана в системі довузівської підготовки, школах (кла­сах) з поглибленим вивченням математики, ліцеях та гімназіях природничо-математичного профілю та для самостійної підготовки до вступ­них іспитів.

10 клас (34 год)

Вступ (2 год)

Функції та їх властивості в шкільному курсі математики. Означення функції. Способи задання функцій. Класифікація функцій.

Основна мета:

  • розширити знання учнів про поняття функції та способи її задання;
  • узагальнити і систематизувати знання учнів по класифікації функцій.

Основні вимоги:

У результаті вивчення теми учні повинні вміти:

  • задавати функції різними способами (таб­личний, графічний, аналітичний);
  • застосовувати функції до моделювання ре­альних процесів;

• класифікувати функції відповідно до їх виду.

Тема 1. Область визначення функції дійсного аргументу (2 год)

Поняття області визначення функції. Вико­ристання області визначення функції під час розв'язування рівнянь і нерівностей.

Основна мета:

• розширити і систематизувати знання учнів для знаходження природної області визначення функціональних залежностей та розв'язування рівнянь і нерівностей з використанням області визначення функцій.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • знаходити область визначення функцій, за­даних різними способами;
  • на основі області визначення функцій роз­в'язувати складніші алгебраїчні рівняння і не­рівності.

Тема 2. Множина значень функції (2 год)

Поняття множини значень функції. Викори­стання поняття множини значень функції під час розв'язування рівнянь і нерівностей.

Основна мета:

• розширити і систематизувати знання учнів із знаходження значень функцій при заданих значеннях аргументу.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • знаходити значення функцій при заданих значеннях аргументу і значення аргументу, за яких функція набуває даного значення;
  • розв'язувати рівняння і нерівності, розв'я­зання яких ґрунтуються на знаходженні області значень функції.

Тема 3. Властивості функції (4 год)

Парні і непарні функції: а) сума скінченно­го числа парних (непарних) функцій; б) добу­ток парних функцій; в) добуток непарних функцій; г) добуток (частка) парних і непар­них функцій.

Використання властивостей парних та непар­них функцій під час розв'язування рівнянь і нерівностей (розглянути завдання типу: пока­зати, що рівняння у = f + а)+ b може мати тільки симетричні відносно нуля корені; розв'язати нерівність у = f(х +b).

Основна мета:

  • ознайомити учнів із теоремами: сума скін­ченного числа парних (непарних) функцій, до­буток парних функцій, добуток непарних функцій, добуток (частка) парних і непарних функцій;
  • розширити і систематизувати знання учнів із застосування парності функцій під час розв'я­зування рівнянь і нерівностей.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • визначати парність складних алгебраїчних функцій;
  • використовувати властивість парності функ­цій під час розв'язування рівнянь та нерівно­стей;
  • встановлювати за побудованим графіком парність функцій.

Тема 4. Періодичність функцій (4 год) Періодичність   функцій     у = sin(kx+b),

у = соs(кх + b), у =tg(кх +b), у = ctg (кх + b). Зна­ходження їх найменшого додатного періоду.

Періодичність функцій, які є алгебраїчною сумою, добутком, часткою двох або кількох функцій з різними періодами. Формули для зна­ходження періоду функції f(x) = , де сума ніяких двох або більше членів ряду тотожно не дорівнює 0, а , N. Поняття періоду для рівнянь і нерівностей.

Основна мета:

  • розширити знання учнів для знаходження періодичності функцій, які є алгебраїчною су­мою, добутком, часткою двох або кількох функцій з різними періодами;
  • ознайомити з різними формулами для зна­ходження періодичності функцій та застосування їх при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • знаходити періоди функцій, які є алгебраїч­ною сумою, добутком, часткою двох або кількох функцій з різними періодами;
  • застосовувати знання періодичності функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.


Тема 5. Побудова графіків функцій за допомо­гою геометричних перетворень (5 год) Побудови графіків функцій

Якщо відомий графік функції у = f(x).

Основна мета:

• розвинути навички читання і побудови графіків функцій, навички елементарних методів дослідження функцій.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • зображувати та розпізнавати графіки функ­цій;
  • застосовувати геометричні перетворення при побудові графіків функцій;
  • встановлювати за графіком функції її най­важливіші властивості.

Тема 6. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля (15 год)

Побудови графіків функції у = f(|x|),   у = |f(x)|,     у = |f(|x|)|, якщо відомий графік функції y=f(x).

Побудови графіків рівнянь |у| = f(x), |у + с| = f(x), якщо відомий графік функції у =f(x)

Графіки функцій, які є сумою, добутком, часткою функцій або складеною функцією, з яких одна або кілька містять знак модуля

=|f1(x) |± |f2(х}|±…± |fп(х) |+ (x)).

Побудова графіків тригонометричних функ­цій, які містять знак модуля.

Основна мета:

• узагальнити і систематизувати знання учнів для побудови графіків функцій, що містять знак модуля.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • зображувати та розпізнавати графіки функ­цій, що містять знак модуля;
  • застосовувати геометричні перетворення при побудові графіків функцій з модулями;
  • встановлювати за графіком функції її най­важливіші властивості.

11 клас (34 год)

Тема 7. Дослідження функцій на монотонність та використання властивості монотонності функцій під час розв'язування рівнянь і нерівностей (8 год)

Означення кусково-монотонної функції.

Зростання (спадання) складеної функції.

Дослідження функції на монотонність за до­помогою першої похідної.

Доведення нерівностей за допомогою вла­стивостей монотонності функції.

Розв'язування рівнянь і нерівностей на ос­нові використання властивості монотонності функції.

Основна мета:

• систематизувати та узагальнити знання учнів з дослідження функцій на монотонність за до­помогою першої похідної та застосування цих понять при розв'язуванні рівнянь і нерівностей.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • застосовувати похідну для знаходження про­міжків монотонності та екстремумів функції;
  • знаходити найбільше та найменше значен­ня функції, розв'язувати рівняння і нерівності на основі монотонності функції.

Тема 8. Дослідження функції на опуклість (Згод)

Поняття опуклості кривої у = f(x) вгору (вниз).

Поняття про похідні вищих порядків. Зна­ходження похідних вищих порядків.

Встановлення напряму опуклості кривої за допомогою другої похідної.

Основна мета:

поглибити і розширити знання учнів для знаходження похідних вищих порядків.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

• знаходити похідні функцій вищих порядків;

• застосувувати похідні вищих порядків для визначення опуклості кривої.

Тема 9. Асимптоти функції (2 год)

Вертикальні асимптоти графіка функції у = f(x)

Горизонтальні асимптоти графіка функції у = f(x)

Похилі асимптоти графіка функції у = f(x) . Необхідні і достатні умови, щоб пряма

у = кх+b була асимптотою графіка функції у = f(x)

Основна мета:

• розширити знання учнів про знаходження асимптот графіків функцій.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

• записувати рівняння асимптот (вертикаль­них, горизонтальних, похилих) та використову­вати їх при побудові графіків.

Тема 10. Побудова графіків складених функцій (10 год)

Побудова графіків функцій у = (f(x))r , де r — раціональне число.

Побудова графіків функцій у = аf(x), де а|а-1|>0.

Побудова графіків функцій у = loga f(x)? де а|a-1|>0.

Побудова графіків функцій у = sin f(x), y=cos f(x), y=tg f(x), y=ctg f(x).

Побудова графіків функцій у = аrсsin f(x), y= arcos f(x), y= arctg f(x), y= arcctg f(x).

Основна мета:

узагальнити і систематизувати знання учнів для дослідження функцій та для побудови їх графіків.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

• будувати графіки складених функцій за ал­горитмом дослідження функцій.

Тема 11. Побудова графіків функцій, пов'яза­них з функцією антьє і мантисою (11 год)

Поняття цілої частини числа.

Поняття дробової частини числа.

Властивості антьє та мантиси.

Побудова графіків функцій, пов'язаних з функ­цією антьє.

Побудова графіків функцій, пов'язаних з функ­цією у = {х},де {х}=х-[х].

Рівняння з цілою та дробовою частиною. Способи розв'язування.

Нерівності з цілою та дробовою частиною. Способи розв'язування.

Основна мета:

  • сформулювати поняття цілої та дробової частини числа;
  • на основі властивостей антьє та мантиси розширити знання учнів, пов'язаних з побудо­вою графіків деяких функцій, пов'язаних із функ­цією антьє;
  • ознайомити учнів з розв'язуванням рівнянь з цілою та дробовою частинами;
  • ознайомити учнів з розв'язуванням нерівно­стей з цілою та дробовою частинами.

Основні вимоги:

Учні повинні вміти:

  • будувати графіки функцій, пов'язані з функ­цією антьє;
  • будувати графіки функцій, пов'язані з функ­цією y = {x}, де {x}=х-[х]
  • розв'язувати рівняння і нерівності різними способами, пов'язані з цілою та дробовою час­тинами.

ЛІТЕРАТУРА

І.Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с па­раметрами: Справочное пособие по

   математике. — Минск: Асар, 1996.

2. Апостолова Г. В., Панкратова І.,Фінкельш т е й н Л. П. Ціла та дробова       частина

       числа.— К.: ФАКТ, 1996.

3. Апостолова Г. В. Хитромудрий модуль. — К.: Поліграфсервіс, 2001.

4. Апостолова Г. В. Я сам! — К.: ФАКТ, 1997.

5. Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Практикум з математики. Алгебра. — К.:

     «КПІ», ч. 1. — 1997; ч. 2. — 1998.

6. Барановська Г. Г., Ясінський В. В. Практи­кум з математики. Показникова та

     логарифмічна функції. — К.: «КПІ», 1998.

7.Финкельштейн Л. П. Задачи с абсолютной величиной (модулем). — К., 1993.

8. Шунда Н. М. Функції та їх графіки: Посібник для вчителів. — К.: Рад. шк., 1983.

9. Яремчук Ф. П., Ясінський В. В. Алгебра, про­грама, типові задачі. — К.: «КПІ»,

     1996.

10.Я с і н с ь к и й В. В. Алгебра. Функції та їх графіки. Задачі з параметрами. — К.:

       НТУУ «КПІ», 2000.

11.Ясінський В. В. Вибрані конкурсні задачі з ма­тематики. Розділ «Алгебра». — К.:

       «КПІ», 1995.


SnowFalling